数学（小班）考试试题
（满分150分，时间120分钟）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1．某校对高二进行了一次学业水平模块测试，从该年级学生中随机抽取部分学生，将他们的数学测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高二共有学生1200名，若成绩不少于80分的为出色，据此估计，高二在这次测试中数学成绩出色的学生人数为
A．30 B．120 C．180 D．300
2．某篮球队甲、乙两名运动员训练罚球，每个人训练10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如图．则下面结论中错误的一个是
A．甲的极差是29 B．乙的众数是21
C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是24
3． 的展开式的常数项是
A． B． C．12 D．8
4．如图圆C内切于扇形AOB，∠AOB= ，若在扇形AOB内任取一点，则该点不在圆C内的概率为
A． B． C． D．
5．某商品的广告成本x与销售额y的统计数 据如下表
广告成本x（万元） 4 2 3 5
销售额y（万元） 49 26 ] 39 54
依据上表可得回归方程 的 为9.4，据此模型预报广告成本为6万元时销售额为
A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
6．高二学生要安排元旦晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，则两个舞蹈节目不连排的概率是
A． B． C． D．
7．某公司新招聘10名职员，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英文翻译职员不可以分在同一部门，另外三名电脑编程职员也不可以全分在同一部门，则不一样的分配策略共有
A. 120种 B. 240种 C. 380种 D. 1080种
8．某程序框图如 图所示，则该程序运行后输出的S的值为
A．1 B． C． D．
9．在 的展开式中，含有 但不含有 的项的系数之和为
A.1024 B. 1023 C. D.
10．由1、2、3、4、5、6组成没重复数字且2、4都不与6相邻的六位偶数的个数是
A．108 B．126 C． 144 D．180
11．算法程序框图如图所示，若 ，则输出的结果是
A． B．a C．b D．c
12．设a,b,m为整数（m>0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余 ，记作 。已知 ，且 ，则b的值可以是
A．2024 B． 2024 C．2024 D． 2024
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．使用系统抽样办法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适合分组后在第一组使用简单随机抽样的办法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间 [1，400]的人做问卷A，编号落入区间[401，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为_______.
14．下图是求10个样本数据平均数x的程序框图，图中空白框中应填入的内容为____________.
15．十一国庆节前夕，小 张在阳台上挂了两串彩灯，这两串彩灯的闪亮相互独立，且都在 通电后的5秒内任一时刻 开始首次闪亮，然后每串彩灯以5秒为间隔闪亮。当这两串彩灯同时通电后，它们首次闪亮 的时刻相差低于2秒的概率是________．
16．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5 ，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，需要3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为8，则不一样的排法共有_________ 种.
三．解答卷：本大题共6小题，共70分.
17. （本小题满分10分）
已知 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
（1）求展开式中二项式系数的项；（2）求展开式中所有些有理项
18．（本小题满分12分）
某农科所对冬天昼夜温差大 小与某反季节大豆新产品种发芽多少之间的关系进行剖析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的天天昼夜温差与实验室天天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日 期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日5ykj.com 12月5日
温差x（°C） 10 11 13 12 8
发芽数y（颗） 23 25 30 26 16
该农科所确定 的研究策略是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1 ）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；
（2）若选取的是12月1日 与12月5日的两组数据，请依据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程 ；
参考公式：
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均低于2颗，则觉得得到的线性回归方程是靠谱的，试问（2）中所得的线性回归方程是不是靠谱？
[来源:Z*xx*k.Com]
19．（本小题满分12分）
5个人坐在一排8个座位上，问
（1）空位不相邻的坐法有多少种?
（2）3个空位只有2个相邻的坐法有 多少种?
（3）5 个人中的甲乙两人不相邻的坐法有多少种?
20. （本小题满分12分）
一个袋子里装有7个小球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4；白球3个，编号分别为1，2，3。从袋子中任取4个球（假设取到任何一个球的可能性相同）。
（1）求取出的4个球中，含有编号为2的球的概率；
（2）在取出的4个球中，有红球和白球，且红球的编号大于白球的编号的概率。
21.（本小题满分12分）
设A、B是椭圆 上的两点，点P（1，2）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（1）确定 的取值范围，并求直线AB的方程；
（2）试判断是不是存在这种 ，使得A、B、C、D四个点在同一个圆上？并说明理由.
22．（本小题满分1 2分）
已知 ，函数 ， （其中 为自然对数的底数）．
（1）若函数 在区间 上的最小值是 ，求实数a的值；
（2）是不是存在实数 ，使曲线 在点 处的切线与 轴垂直?请说明理由．
（3）求实数a的取值范围，使得在区间 上，函数 的图象恒在 的图象下方。
重庆第十一中学校高2024级半期考试
数学（小班）参考答案
1、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
DDABB CAABD BC
2、 填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13． 18 14．S=S+x 15. 16．1632
三 、解答卷：（本大题共6小题，共70 分）
17．（本小题满分10分）
解：由题意： ，即 ，∴ 舍去）
…………4分
（1）展开式中二项式系数的项是 ；……6分
（2）若 是有理项，当且仅当 为整数，
∴ ，∴ ，
即 展开式中有三项有理项，分别是： ， ， …………10分
18. （本小题满分12分）
解：（1）设抽到不相邻的两组数据为事件A，
从5组 数据中选取2组数
据共有10种状况：（1，2）
（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）
（3，4）（3，5）（4，5），
其中数据为12月份的日期数．
每种状况都是可能出现的，事件A包含的基本事件有6种．
∴P（A）= ．
∴选 取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是 ………………4分
（2）由数据，求得 ．
由公式，求得b=
∴y关于x的线性回归方程为 x﹣3．………………………………8分
（3）当x=10时， ×10﹣3=22，|22﹣23|＜2；
同样当x=8时， ×8﹣3=17，|17﹣16|＜2；
∴该研究所得到的回归方程是靠谱的．………………………………12分
19. （本小题满分12分）
解：（1） ……… ………4分
（2） ……………………8分
（3） ……………………12分
20.（本小题满分12分）
解：（1） 或 …………6分
（2） …………12分
21. （本小题满分12分）
解：（1）依题意，可设直线AB的方程为 ，代入椭圆方程整理得
①
设 是方程①的两个不一样的根，
∴ ②
且 由P（1，2）是线段AB的中点，得
解得k=－1，代入②得 ，
则 的取值范围是（6，+∞），于是，直线AB的方程为 ……6分
（2）∵CD垂直平分AB，∴直线CD的方程为y－2=x－1，即x－y+1=0，
代入椭圆方程，整理得 ③
又设 CD的中点为 ， 是方程③的两根，
∴ ，则 ………………8分
于是由弦长公式可得 ④
将直线AB的方程x+y－3=0，代入椭圆方程得 ⑤
同理可得 ⑥
若A、B、C 、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.
点M到直线AB的距 离为 ⑦
于是，由④、⑥、⑦式可得
，
故当 >6时，A 、B、C、D四点都在以M为圆心， 为半径的圆上.……12分
22．（本小题满分12分）
解：（1 ）∵ ，∴ ．
令 ，得 ．
①若 ，则 ， 在区间 上单调递增，
舍去；
②若 ，当 时， ，函数 在区间 上单调递减，
当 时， ，函数 在区间 上单调递增，
，得 ；
③若 ，则 ，函数 在区间 上单调递减，
，得 舍去；
综上， 。……………………………………………………………………4 分
（2）∵ ， ，
由（1）可知，当 时， ．
此时 在区间 上的最小值为 ，则 ．
当 ， ， ，
∴ ．
曲线 在点 处的切线与 轴垂直等价于方程 有实数解．
而 ，即方程 无实数 解．
故没有 ，使曲线 在 处的切线与 轴垂直。……8分
（3）由题意得 ，即 在 上恒成立，
令 ，则
令 ，则 ，
当 ， ，当 ， ，
，
则 在 上恒成立， 在 上是增函数，
……………………………………………………12分
